Question

已知f（x）=lnx+x²-bx．
（1）若函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（2）當b=-1時，設g（x）=f（x）-2x²，求證函數g（x）只有一個零點．

Answer 1

（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f′（x）=+2x-b≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x對x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（+2x）_min�。▁＞0），
∵x＞0，
∴+2x≥2，當且僅當x=時取“=”，∴b≤2，
∴b的取值范圍為（-∞，2]．
（2）證明：當b=-1時，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴g′（x）=-2x+1=-，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x＞1時，g′（x）＜0，
∴函數g（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，
∴當x≠1時，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0．
∴函數g（x）只有一個零點．
分析：（1）其導函數，利用f（x）在（0，+∞）上遞增，可得f′（x）≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，分離參數，即可求得b的取值范圍；
（2）當b=-1時，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），求導函數，確定合適的單調性，利用當x≠1時，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0，即可得到結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性、函數的零點，解題的關鍵是確定函數的單調性，分離參數，確定函數的最小值．