Question

已知函數(shù)f（x）=e^|x|-1-ax．
（I）若f（x）是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，得f（-1）=f（1），解出a=0，再由偶函數(shù)的定義加以驗(yàn)證即可；
（II）根據(jù)x≥0和x＜0去絕對(duì)值，再用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得：當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0恒成立；而當(dāng)x≥0且0＜a≤

1

e

時(shí)，f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立；當(dāng)x≥0且0＜a≤

1

e

時(shí)，f'（x）＞0在（lna+1，+∞）上成立，f'（x）＜0在（0，lna+1）上成立．由此加以綜合，即可得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間的各種情況．

解答：解：（I）若f（x）是偶函數(shù)，則f（-1）=f（1）
可得e^|1|-1-a=e^|-1|-1+a，即1-a=1+a，所以a=0
檢驗(yàn)：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^|x|-1，得f（-x）=e^|-x|-1=e^|x|-1=f（x），符合題意
因此，實(shí)數(shù)a的值為0；
（II）①當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x-1-ax，可得
f'（x）=e^x-1-a，當(dāng)x=lna+1時(shí)，f'（x）=0．
∴當(dāng)0＜a≤

1

e

時(shí)，有f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，可得f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，f'（x）＞0在（lna+1，+∞）上成立，f'（x）＜0在（0，lna+1）上成立
此時(shí)f（x）在（0，lna+1）上是減函數(shù)，（lna+1，+∞）上是增函數(shù)
②當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^-x-1-ax，可得
f'（x）=-e^-x-1-a，可得f'（x）＜0在（-∞，0）上恒成立
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)
綜上所述，當(dāng)0＜a≤

1

e

時(shí)，f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，f（x）在（-∞，lna+1）上是減函數(shù)，在（lna+1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有指數(shù)式且含有絕對(duì)值符號(hào)的基本初等函數(shù)，討論了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)奇偶性的定義等知識(shí)，屬于中檔題．