Question

已知兩點M（-5，0），N（5，0），給出下列直線方程：①5x-3y=0；②5x-3y-52=0；③x-y-4=0；則在直線上存在點P滿足|MP|=|PN|+6的所有直線方程是______ （只填序號）．

Answer 1

∵M（-5，0），N（5，0），點P滿足|MP|=|PN|+6，
∴點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長2a=6的雙曲線，
這個雙曲線的方程為：

x2

9

-

y2

16

=1．
把①5x-3y=0代入雙曲線方程，得-9y²=400，無解．
∴方程：①5x-3y=0上不存在點P滿足|MP|=|PN|+6；
把②5x-3y-52=0代入雙曲線方程，得

x2

9

-

( 5 3 x- 52 3 ) 2

16

=1，
整理，得9x²-520x+2848=0，
∵△=270400-36×2848=167872＞0，
∴直線方程②5x-3y-52=0上存在點P滿足|MP|=|PN|+6．
把③x-y-4=0代入雙曲線方程，得

x2

9

-

(x-4)2

16

=1，
整理，得7x²+8x-288=0，
∵△=64+28×288=8128＞0，
∴直線方程③x-y-4=0上存在點P滿足|MP|=|PN|+6．
故答案為：②③．