Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，f(x)=

a

•

b

（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積公式和三角恒等變換公式，化簡可得f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，再由三角函數的周期公式和單調區(qū)間的公式加以計算，可得答案；
（2）當x∈[0，

π

2

]時

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函數的圖象與性質，即可算出f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵

a

=(cosx，sinx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，
∴f(x)=

a

•

b

=cos2x+

3

sinxcosx=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x=(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

 （k∈Z），解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

 （k∈Z）
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

 ， kπ+

π

6

] ；
（2）∵0≤x≤

π

2

，可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
即f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是f（

π

6

）=

3

2

．

點評：本題考查了向量的數量積公式、三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質和函數最值的求法等知識，屬于中檔題．