Question

設(shè)函數(shù)y=f（x），對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0，f(1)=-

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求：
（1）f（0）的值．          
（2）求證：f（x）為R上的奇函數(shù)．
（3）求證：f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)．
（4）f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0
（2）由（1）中f（0）=0，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，根據(jù)奇函數(shù)的定義可得結(jié)論．
（3）令x＞y，由已知可得f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y），結(jié)合x＞0時(shí)f（x）＜0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論
（4）由（3）中函數(shù)的單調(diào)性可確定f（x）在[-3，3]上的最大值點(diǎn)，結(jié)合f(1)=-

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可得答案．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x+y）=f（x）+f（y）
令x=0
則f（0+y）=f（0）+f（y）
得f（0）=0
（2）因?yàn)閒（x+y）=f（x）+f（y）且f（0）=0
所以f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
又因?yàn)閤是任意實(shí)數(shù)
所以f（x）為R上的奇函數(shù)
（3）令x＞y
則f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y）
因?yàn)閤＞y
所以x-y＞0
所以f（x-y）=f（x）-f（y）＜0
所以f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)
（4）由（3）知f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-3）
f（-3）=f（-1）+f（-2）=f（-1）+f（-1）+f（-1）=-f（1）-f（1）-f（1）=2
f（x）在[-3，3]上的最小值為f（3）
f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=-2．

點(diǎn)評：本題又抽象函數(shù)為載體考查了函數(shù)求值，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵．