Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為正常數(shù)，|

PA

|+|

PB

|=k，則動點P的軌跡為橢圓；
②雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④和定點A（5，0）及定直線l：x=

16

5

的距離之比為

5

4

的點的軌跡方程為

x2

16

-

y2

9

=1．
其中真命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)橢圓的定義，當k＞|AB|時是橢圓；②正確，雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點，焦點在x軸上，焦點坐標為（±

34

，0）；③方程2x²-5x+2=0的兩根為

1

2

或2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④由雙曲線的第二定義可知：點的軌跡是雙曲線．

解答：解：①根據(jù)橢圓的定義，當k＞|AB|時是橢圓，∴①不正確；
②正確，雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點，焦點在x軸上，焦點坐標為（±

34

，0）；
③方程2x²-5x+2=0的兩根為

1

2

或2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，∴③正確
④由雙曲線的第二定義可知：點的軌跡是雙曲線，且a=4，b=3，c=5．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，同時考查了橢圓、雙曲線與拋物線的性質，考查的知識點較多，屬于中檔題．