Question

（本小題滿分13分）
已知圓和直線，
（1）求證：不論取什么值，直線和圓總相交；
（2）求取何值時(shí)，直線被圓截得的弦最短，并求出最短弦的長(zhǎng)；

Answer 1

（1）點(diǎn)（4，3）在圓內(nèi)；（2），最短弦

分析：（1）由直線l的方程y-3=k（x-4）可得直線l恒通過(guò)定點(diǎn)（4，3），而點(diǎn)（4，3）在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C總相交．
（2）先求出圓心到直線l的距離為d，設(shè)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，則( )²+d²＝r²，再根據(jù)L的解析式，利用基本不等式求得
L的最小值．
解：（1）證明：由直線l的方程可得y-3=k（x-4），則直線l恒通過(guò)定點(diǎn)（4，3），把（4，3）代入圓C的方程，得（4-3）²+（3-4）²=2＜4，
所以點(diǎn)（4，3）在圓的內(nèi)部，所以直線l與圓C總相交．
（2）設(shè)圓心到直線l的距離為d，則 d＝＝，
又設(shè)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，則()²+d²＝r²，即 ()²＝4?=4-（1+）=3-≥2．
∴當(dāng)k=1時(shí)，()²_min＝2，
∴L_min=2，所以圓被直線截得最短的弦長(zhǎng)為2．