Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB為正三角形，四邊形ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2AD，M，N分別為PB，PC中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小；
（Ⅲ）在BC上是否存在點E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵M，N分別是PB，PC中點 ∴MN是△ABC的中位線
∴MN∥BC∥AD
又∵AD平面PAD，MN平面PAD
所以MN∥平面PAD．
解：（Ⅱ）過點P作PO垂直于AB，交AB于點O，
因為平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2，則A（﹣1，0，0），C（1，1，0），
M（ ，0， ），
B（1，0，0），N（ ， ， ），
則 ，
設(shè)平面CAM法向量為 ，
由 ，得 ，
令x1=1，則 ，即
平面ABM法向量
所以，二面角B﹣AM﹣C的余弦值
因為二面角B﹣AM﹣C是銳二面角，
所以二面角B﹣AM﹣C等于45°
（Ⅲ）存在點E，使得EN⊥平面AMN
設(shè)E（1，λ，0），則 ，
由 可得 ，
所以在BC存在點E，使得EN⊥平面AMN，
此時 ．
【解析】（本小題滿分14分）
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．