Question

已知數(shù)列{log₃（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=4，a₄=82．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，求出數(shù)列{log₃（a_n-1）}中的第一，四項后，可求出其通項公式，利用指數(shù)、對數(shù)互化得出數(shù)列{a_n}的通項公式 a_n=3ⁿ+1
（2）na_n=n3ⁿ+n，可綜合利用分組法、錯位相消法求和．

解答：解：（1）由題log₃（a₁-1）=1，log₃（a₄-1）=4（2分）∴等差數(shù)列的公差∴d=

4-1

3

=1
∴l(xiāng)og₃（a_n-1）=1+（n-1）1=n（4分）
∴a_n=3ⁿ+1（5分）
（2）na_n=n3ⁿ+n，∴S_n=（1•3+2•3²+…+n•3ⁿ）+（1+2+…+n）
令T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ①∴3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹②（7分）
則②-①可得：-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1=(

1

2

-n)3n+1-

3

2

（9分）
Tn=(

n

2

-

1

4

)3n+1+

3

4

而1+2+…+n=

n(n+1)

2

（11分）
∴Sn=(

n

2

-

1

4

)3n+1+

3

4

+

n(n+1)

2

（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列通項公式求解，對數(shù)、指數(shù)的運算，數(shù)列分組法、錯位相消法求和，考查分析解決問題、計算能力．