Question

(本小題滿分12分)函數(shù)，．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；

（Ⅲ）是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在是函數(shù)的減區(qū)間;是函數(shù)的增區(qū)間.的最小值是．（II）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

（Ⅲ）不存在.

【解析】

試題分析：（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即，

∴；，∴，令，即，解得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608250365626803/SYS201303260825383906609175_DA.files/image022.png">＞，所以＜0，＜0，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；

所以是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，

所以的最小值是．…………4分

（2），設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，

因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，=0，∴；

當(dāng)時(shí)，=0，∴．…………8分

（3）滿足條件的不存在．證明如下：

證法一 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，

即對(duì)任意有              ①

但對(duì)上述的，取時(shí)，有，這與①左邊的不等式矛盾，

因此不存在，使對(duì)任意成立．  …………12分

證法二 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，

由（1）知，的最小值是，

又，而時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608250365626803/SYS201303260825383906609175_DA.files/image039.png">，

∴當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608250365626803/SYS201303260825383906609175_DA.files/image051.png">，

從而可以取一個(gè)值，使，即,∴

，這與假設(shè)矛盾．

∴不存在，使對(duì)任意成立

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一定要先求函數(shù)的定義域。此題的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高。