【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形ABCD為平行四邊形，且
，
，
平面PAC.
（1）求證：
平面
；
（2）若異面直線PC與AD所成的角為30°，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）根據(jù)線面垂直判斷定理:如果一條直線垂直一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線,那么這條線垂直這個(gè)平面，要證
平面
，只需證明
和
，即可求得答案；
（2）先求證
平面
，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的法向量為
，平面PDC的法向量為
，根據(jù)
，即可求得答案.
（1）在
中，
，
，
由余弦定理得：
，
，
，即
平面PAC，
平面PAC，
.
又
平面PAB，
平面PAB，
，
平面PAB.
（2）
，
是異面直線PC與AD所成的角，
又平面
，
，在
中，
，
，
，
，易知
，
在
中，
，
，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，則
.
由（1）知平面PAB，
，
又平面，平面ABCD，
，
平面ABCD，
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則
，
，
，
，
可得：
，
，
，
設(shè)平面PBC的法向量為
，
則
取
，則
，
，是平面PBC的一個(gè)法向量
設(shè)平面PDC的法向量為
，
則
，
則
，取
，則
，
，是平面PDC的一個(gè)法向量.
，
由圖可知二面角
是鈍二面角，
二面角的余弦值為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為響應(yīng)黨中央“扶貧攻堅(jiān)”的號召，某單位指導(dǎo)一貧困村通過種植紫甘薯來提高經(jīng)濟(jì)收入.紫甘薯對環(huán)境溫度要求較高，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，隨著溫度的升高，其死亡株數(shù)成增長的趨勢.下表給出了2017年種植的一批試驗(yàn)紫甘薯在溫度升高時(shí)6組死亡的株數(shù)：
經(jīng)計(jì)算： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，其中
分別為試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù)， 
.
（1）若用線性回歸模型，求
關(guān)于
的回歸方程
（結(jié)果精確到
）；
（2）若用非線性回歸模型求得
關(guān)于
的回歸方程為
，且相關(guān)指數(shù)為
.
（i）試與（1）中的回歸模型相比，用
說明哪種模型的擬合效果更好；
（ii）用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為
時(shí)該批紫甘薯死亡株數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.
附：對于一組數(shù)據(jù)
， 
，……， 
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： 
；相關(guān)指數(shù)為： 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在
中，
，
.已知
分別是
的中點(diǎn).將
沿
折起，使
到
的位置且二面角
的大小是60°，連接
，如圖：
（1）證明：平面
平面
（2）求平面
與平面
所成二面角的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于某種類型的口服藥，口服
小時(shí)后，由消化系統(tǒng)進(jìn)入血液中藥物濃度
（單位）與時(shí)間小時(shí)的關(guān)系為
，其中
，
為常數(shù)，對于某一種藥物
，
，
．
（1）口服藥物后______小時(shí)血液中藥物濃度最高；
（2）這種藥物服藥
小時(shí)后血液中藥物濃度如下表
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 0.9545 | 0.9304 | 0.6932 | 0.4680 | 0.3010 | 0.1892 | 0.1163 | 0.072 |
一個(gè)病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個(gè)單位以上，第三次服藥時(shí)間是______（時(shí)間以整點(diǎn)為準(zhǔn)）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，每人分別對兩個(gè)教師進(jìn)行評分，滿分均為100分，整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：
，
，
，
，
，
.得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數(shù)分布表：
乙教師分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表 | |
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
| 3 |
| 3 |
| 15 |
| 19 |
| 35 |
| 25 |
（1）在抽樣的100人中，求對甲教師的評分低于70分的人數(shù)；
（2）從對乙教師的評分在
范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人評分均在范圍內(nèi)的概率；
（3）如果該校以學(xué)生對老師評分的平均數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn)，則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評為年度該校優(yōu)秀教師？（精確到0.1）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平行四邊形
中，
，
，
，
是EA的中點(diǎn)（如圖1），將
沿CD折起到圖2中
的位置，得到四棱錐是
．
（1）求證：
平面PDA；
（2）若PD與平面ABCD所成的角為
．且
為銳角三角形，求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是直角梯形，
,
，
,側(cè)面
底面,且
是以
為底的等腰三角形.
（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）若四棱錐的體積等于
.問：是否存在過點(diǎn)
的平面
分別交
，
于點(diǎn)
，使得平面
平面
？若存在，求出
的面積；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】由團(tuán)中央學(xué)校部、全國學(xué)聯(lián)秘書處、中國青年報(bào)社共同舉辦的2018年度全國“最美中學(xué)生”尋訪活動(dòng)結(jié)果出爐啦，此項(xiàng)活動(dòng)于2018年6月啟動(dòng)，面向全國中學(xué)在校學(xué)生，通過投票方式尋訪一批在熱愛祖國、勤奮學(xué)習(xí)、熱心助人、見義勇為等方面表現(xiàn)突出、自覺樹立和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀的“最美中學(xué)生”.現(xiàn)隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的票數(shù)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定票數(shù)在65票以上（包括65票）定義為風(fēng)華組.票數(shù)在65票以下（不包括65票）的學(xué)生定義為青春組.
（1）如果用分層抽樣的方法從青春組和風(fēng)華組中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，那么至少有1人在青春組的概率是多少？
（2）用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)選取4人，用
表示所選4人中青春組的人數(shù)，試寫出的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望.
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