Question

（2013•天津）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，且各棱長均相等．D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A₁C₁的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ）證明：平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）求直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）連接ED，要證明EF∥平面平面A₁CD，只需證明EF∥DA₁即可；
（II）欲證平面平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，即證平面內(nèi)一直線與另一平面垂直，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證得CD⊥面A₁ABB₁，再根據(jù)面面垂直的判定定理得證；
（III）先過B作BG⊥AD交A₁D于G，利用（II）中結(jié)論得出BG⊥面A₁CD，從而∠BCG為所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值．

解答：證明：（I）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁，連接ED，
可得DE∥AC，DE=

1

2

AC，又F為棱A₁C₁的中點．∴A₁F=DE，A₁F∥DE，
所以A₁DEF是平行四邊形，所以EF∥DA₁，
DA₁?平面A₁CD，EF?平面A₁CD，∴EF∥平面A₁CD
（II）∵D是AB的中點，∴CD⊥AB，
又AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，又AA₁∩AB=A，
∴CD⊥面A₁ABB₁，又CD?面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（III）過B作BG⊥A₁D交A₁D于G，
∵平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，且平面A₁CD∩平面A₁ABB₁=A₁D，
BG⊥A₁D，
∴BG⊥面A₁CD，
則∠BCG為所求的角，
設(shè)棱長為a，可得A₁D=

5

2

a，由△A₁AD∽△BGD，得BG=

5

5

a，
在直角△BGC中，sin∠BCG=

BG

BC

=

5

5

，
∴直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值

5

5

．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．