Question

已知（其中k為非零常數(shù)）．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求k的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數(shù)量積，求出函數(shù)的表達(dá)式，直接利用分類討論解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為，在（0，+∞）上恒成立，利用基本不等式，求k的范圍．
解答：解：（1）=，
則f（x）＞0，即，即，
①如果k＞0，則原不等式等價(jià)于x（x-2k）＜0，
∴0＜x＜2k．
②如果k＜0，則原不等式等價(jià)于x（x-2k）＜0，
∴x＞0或x＜2k．
綜上所述，當(dāng)k＞0時(shí)，原不等式的解集為{x|0＜x＜2k}．
當(dāng)k＜0時(shí)，原不等式的解集為{x|0＜x或x＜2k}．
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
即，在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，∵x＞0，
∴g（x）≥2×2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴，解得k＜0或k．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，分類討論的思想，考查計(jì)算能力．