Question

已知f（x）是定義域在R上的函數(shù)，f（2+x）=-f（2-x），f（x+2）=-

1

f(x)

．
（1）函數(shù)f（x）是不是周期函數(shù)，若是，求出周期；
（2）判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f（x+4）=f[2+（x+2）]=-

1

f(x+2)

=f（x）可求函數(shù)的周期
（2）由f（2+x）=-f（2-x）可得f（x）=-f（4-x），結(jié)合（1）中的周期可判斷

解答：（1）證明：∵f（x+4）=f[2+（x+2）]=-

1

f(x+2)

=f（x）
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)
（2）由f（2+x）=-f（2-x）
令t=2-x則x=2-t
故f（t）=-f（4-t）即f（x）=-f（4-x）
∴f（-x）=-f（4+x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的周期及函數(shù)的奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)