Question

已知橢圓E的右焦點(diǎn)F₂與拋物線的焦點(diǎn)重合，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線l交橢圓E于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為Q，點(diǎn)B（-1，0），當(dāng)l⊥QB時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓E的方程為
∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴F₂，∴a²-b²=3①--------（3分）
又過(guò)點(diǎn)，∴②
由①，②得：a²=4，b²=1
∴橢圓E的方程為-----（5分）
（2）設(shè)直線l的方程為：
由得（9+36k²）x²+120kx+64=0
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0得：
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）則----（9分）
∵l⊥QB，∴，化簡(jiǎn)得：4k²-5k+1=0
解得：k=1或（舍去）
∴直線l的方程為-----（12分）
分析：（1）設(shè)出橢圓方程，利用橢圓E的右焦點(diǎn)F₂與拋物線的焦點(diǎn)重合，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立方程，求得幾何量，即可求出橢圓E的方程；
（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及l(fā)⊥QB，即可求直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．