Question

【題目】已知動圓過定點，且內(nèi)切于定圓．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，記軌跡被所截得的弦長為，求的解析式及其最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）點的軌跡是以、為兩焦點，長半軸為3的橢圓，方程為；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)動圓的半徑為，則，又動圓內(nèi)切于定圓，所以有，所以，即，又，所以點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，，，所以，所以軌跡方程為；（Ⅱ）聯(lián)立，消去未知數(shù)得：，，解得，所以，設(shè)直線與橢圓交于兩點，，，則弦長，所以有，當時，取得最大值．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)動圓圓心，動圓半徑為， ，

則，且，則,2分

即動圓圓心到兩定點和的距離之和恰好等于定圓半徑6，

又，，

所以點的軌跡是以、為兩焦點，長半軸為3的橢圓．4分

則，故求點的軌跡方程為：．6分

（Ⅱ）聯(lián)立方程組，消去，整理得5分

設(shè)交點坐標為，

則，解得，解得 6分

且7分

故10分

當時，弦長取得最大值為．12分