Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E為PD的中點．
（Ⅰ）求點C到平面PBD的距離；
（Ⅱ）在側面PAB內找一點N，使NE⊥面PAC，并求出N點到AB和AP的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，求出向量

PD

，

PB

，設平面PBD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，根據(jù)

n • PD =0 n • PB =0

可求出

n

，最后根據(jù)點C到平面PBD的距離d=

| PC • n |

| n |

可求出所求；
（Ⅱ）由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為（x，O，z），根據(jù)NE⊥面PAC可得，

NE • AP =0 NE • AC =0

求出N點的坐標，從而N點到AB、AP的距離．

解答：解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A、B、C、D、P、E的坐標為A（0，0，0）、B（

3

，0，0）、C（

3

，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，

1

2

，1），從而

PD

=(0，1，-2)，

PB

=(

3

，0，-2)．…（2分）
設平面PBD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • PD =0 n • PB =0

即

y-2z=0 3 x-2z=0

令z=1，得

n

=（

2

3

，2，1）
所以點C到平面PBD的距離d=

| PC • n |

| n |

=

2 57

19

…（6分）
（Ⅱ）由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為（x，O，z），則

NE

=(-x，

1

2

，1-z)，
由NE⊥面PAC可得，

NE • AP =0 NE • AC =0

即

z-1=0 - 3 x+ 1 2 =0

∴x=

3

6

，z=1 …10 分
即N點的坐標為(

3

6

，0，1)，從而N點到AB、AP的距離分別為1，

3

6

 …（12分）

點評：本題主要考查了點到面的距離，以及利用空間向量的方法解立體幾何問題，同時考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．