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        1. 已知直線l:y=x+,圓O:x2+y2=5,橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=.直線l截圓O所得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等.
          (Ⅰ)求橢圓E的方程;
          (Ⅱ)過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線.若切線都存在斜率,求證這兩條切線互相垂直.
          【答案】分析:(Ⅰ)先求直線l圓O截得的弦長(zhǎng),進(jìn)而可得橢圓的短軸長(zhǎng),利用橢圓的離心率e=,即可確定橢圓E的方程;
          (Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線方程,代入橢圓方程,消去y可得一元二次方程,利用判別式為0得方程,利用韋達(dá)定理,及點(diǎn)P在圓O上,即可計(jì)算得兩條切線的斜率的積,從而可得結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)解:設(shè)橢圓的半焦距為c,圓心O到l的距離為
          ∴直線l圓O截得的弦長(zhǎng)
          ∵直線l圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等

          ∵橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=

          ∴a2=3
          ∴橢圓E的方程為+=1;
          (Ⅱ)證明:設(shè)P(x,y),過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線方程為y-y=k(x-x),即y=kx+y-kx
          代入橢圓方程,消去y可得:(3+2k2)x2+4k(y-kx)x+2(y-kx2-6=0
          ∴△=[4k(y-kx)]2-4(3+2k2)[2(y-kx2-6]=0
          即()k2+2kxy-()=0
          ∴兩條切線的斜率的積為-
          ∵點(diǎn)P在圓O上,∴,∴-=-=-1
          ∴兩條切線的斜率的積為-1
          ∴兩條切線互相垂直.
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,聯(lián)立方程,計(jì)算斜率是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線l:y=x+k經(jīng)過(guò)橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          a2-1
          =1,(a>1)
          的右焦點(diǎn)F2,且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),若以弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1,試求橢圓C的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線l:y=x+1和圓C:x2+y2=
          12
          ,則直線l與圓C的位置關(guān)系為
          相切
          相切

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線l:y=-x+1與橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為(
          2
          3
          , 
          1
          3
          )

          (1)求此橢圓的離心率.
          (2)若橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線l:y=-x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓x2+y2=5上,求橢圓方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•菏澤一模)已知直線l:y=x+
          6
          ,圓O:x2+y2=5,橢圓E:
          y2
          a2
          +
          x2
          b2
          =1(a>b>0)的離心率e=
          3
          3
          .直線l截圓O所得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等.
          (Ⅰ)求橢圓E的方程;
          (Ⅱ)過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線.若切線都存在斜率,求證這兩條切線互相垂直.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知直線l:y=x+2,與拋物線x2=y交于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點(diǎn),l與x軸交于點(diǎn)C(xC,0).
          (1)求證:
          1
          xA
          +
          1
          xB
          =
          1
          xC
          ;
          (2)求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積;
          (3)某同學(xué)利用TI-Nspire圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證結(jié)果時(shí)(如圖1所示),嘗試拖動(dòng)改變直線l與拋物線的方程,發(fā)現(xiàn)
          1
          xA
          +
          1
          xB
          1
          xC
          的結(jié)果依然相等(如圖2、圖3所示),你能由此發(fā)現(xiàn)出關(guān)于拋物線的一般結(jié)論,并進(jìn)行證明嗎?精英家教網(wǎng)

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