Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線L：y=mx+3-4m，m∈R恒過一定點(diǎn)，且與以原點(diǎn)為圓心的圓C恒有公共點(diǎn)．
（1）求出直線L恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，求圓C的方程；
（3）已知定點(diǎn)Q（-4，3），直線L與（2）中的圓C交于M、N兩點(diǎn)，試問

QM

•

QN

•tan∠MQN是否存在最大值，若存在則求出該最大值，并求出此時(shí)直線L的方程，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線L：y=mx+3-4m可化簡(jiǎn)為y=m（x-4）+3，由此知直線恒過定點(diǎn)T（4，3）．
（2）由題意，要使圓C的面積最小，定點(diǎn)T（4，3）在圓上，由此能求出圓C的方程．
（3）

QM

•

QN

•tan∠MQN=|

QM

||

QN

|•cos∠MQN•tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|•sin∠MQN=2S_△MQN．由此能夠?qū)С?span id="j4mebx0" class="MathJye">

QM

•

QN

×tan∠MQN的最大值和此時(shí)直線L的方程．

解答：解：（1）直線L：y=mx+3-4m可化簡(jiǎn)為y=m（x-4）+3（2分）
所以直線恒過定點(diǎn)T（4，3）（4分）
（2）由題意，要使圓C的面積最小，定點(diǎn)T（4，3）在圓上，
所以圓C的方程為x²+y²=25．（8分）
（3）

QM

•

QN

•tan∠MQN
=|

QM

||

QN

|•cos∠MQN•tan∠MQN
=|

QM

|•|

QN

|•sin∠MQN=2S_△MQN（10分）
由題意得直線L與圓C的一個(gè)交點(diǎn)為M（4，3），又知定點(diǎn)Q（-4，3），
直線L_MQ：y=3，|MQ|=8，則當(dāng)N（0，-5）時(shí)S_MQN有最大值32．
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值為64，（13分）
此時(shí)直線L的方程為2x-y-5=0．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地選用公式．