Question

已知函數(shù)．

（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)x≥1時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：

實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義；函數(shù)在某點取得極值的條件．

專題：

壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．

分析：

（1）因為，x＞0，x＞0，則，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，能求出實數(shù)a的取值范圍．

（2）不等式，即為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答：

解：（1）因為，x＞0，則，（1分）

當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0；

當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．

因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，

所以解得．

（2）不等式，即為，記，

所以=

令h（x）=x﹣lnx，

則，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，

從而g'（x）＞0，

故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，

所以k≤2．

點評：

本題考查極值的應(yīng)用，應(yīng)用滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法和分類討論法的合理運用．