Question

【題目】已知函數(shù)， ， ， ．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在最大值， 存在最小值，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）在遞增，在遞減．（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求出的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出結(jié)論.

試題解析：

（1）由題意知， ， ，

時(shí)， ， 在遞減，

時(shí)，令 ，令 ，

∴在遞增，在遞減.

（2）證明： ，

時(shí)， 恒成立， 在遞增，無最小值，

由（1）知，此時(shí)無最大值，故.

令，則，

∵， ，

故存在唯一，使得，即，

列表如下：

由（1）得：

， ，

由題意，即，將代入上式有：

化簡得： （*）

構(gòu)造函數(shù)， ，

顯然單調(diào)遞增，且， ，

則存在唯一，使得.

且時(shí)， ， 單調(diào)遞減； 時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

又，故只會(huì)在有解，

而

故（*）的解是，則.