Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)F到短軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F距離的最大值是6．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e；
（Ⅱ）若F′為焦點(diǎn)F關(guān)于直線y=的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足=e，問是否存在一個(gè)定點(diǎn)A，使A到點(diǎn)A的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距，根據(jù)已知可求得a，進(jìn)而利用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F距離的最大值是6．求得c，則b可求，進(jìn)而可求得橢圓的方程和離心率．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中橢圓的方程可求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)根據(jù)題意利用兩點(diǎn)間的距離公式求得x和y的關(guān)系式，進(jìn)而判斷出存在一個(gè)定點(diǎn)A（0，），使M到A點(diǎn)的距離為定值，其定值為．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a，c，由已知得
，
解得a=4，c=2．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
離心率e=
（Ⅱ）F（0，2），F(xiàn)′（0，1），設(shè)M（x，y）由=e得

化簡(jiǎn)得3x²+3y²-14y+15=0，即x²+（y-）²=（）²
故存在一個(gè)定點(diǎn)A（0，），
使M到A點(diǎn)的距離為定值，其定值為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查學(xué)生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的綜合理解．