Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求證：對任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小為60°，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DS的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出

AC

，

BE

的坐標(biāo)，計算向量的數(shù)量積，只要說明數(shù)量積與λ無關(guān)即可；
（2）分別求出平面ADE與平面ACE的一個法向量，利用二面角C-AE-D的大小為60°建立兩法向量的關(guān)系式，求出λ的值即可．

解答：解：以D為原點，DA，DC，DS的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（a，0，0），
B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），
（1）證明：∵

AC

=（-a，a，0），

BE

=（-a，-a，λa），

EA

=（a，0，-λa），

EC

=（0，a，-λa）．
∴

AC

•

BE

=（-a，a，0）•（-a，-a，λa）
=a²-a²+0•λa=0，
即對任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE．
（2）

DC

=（0，a，0）為平面ADE的一個法向量．
設(shè)平面ACE的一個法向量為n=（x，y，z），
則n⊥E，n⊥E，
∴即

x-λz=0 y-λz=0

取z=1，得n=（λ，λ，1）．
∴cos60°═

|λ|

2λ2+1

?

2λ2+1

=2|λ|．
由λ∈（0，1]，解得λ=

2

2

．

點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．