Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx，a為常數(shù)，且a∈R．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上有兩個不同的極值點，求常數(shù)a的取值范圍，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）a=2時求f（x）的導(dǎo)數(shù)，得出f（x）在（1，f（1））處的切線斜率，寫出切線方程；
（2）先求出f′（x），令f′（x）=0，在定義域上有兩個不同的解，得出a的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)判定f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵a=2時，f（x）=2x²-2x+lnx，
∴f′（x）=4x-2+

1

x

，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=3，
又f（1）=0，
∴切線方程為y-0=3（x-1），
即3x-y-3=0；
（2）∵f（x）=ax²-2x+lnx，定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

；
∵f（x）在（0，+∞）上有兩個不同的極值點，
即2ax²-2x+1=0在（0，+∞）上有兩個不同的實數(shù)根，
∴

a≠0 4-8a＞0 - -2 2a ＞0 1 2a ＞0

，解得0＜a＜

1

2

；
∴a的取值范圍是{a|0＜a＜

1

2

}；
又∵f′（x）=

2ax2-2x+1

x

；
令f′（x）=0，得2ax²-2x+1=0；
∵0＜a＜

1

2

，
∴解得x₁=

1- 1-2a

2a

，x₂=

1+ 1-2a

2a

；
∴當(dāng)0＜x＜

1- 1-2a

2a

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)

1- 1-2a

2a

＜x＜

1+ 1-2a

2a

時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x＞

1+ 1-2a

2a

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
∴f（x）的增區(qū)間是（0，

1- 1-2a

2a

），（

1+ 1-2a

2a

，+∞）；減區(qū)間（

1- 1-2a

2a

，

1+ 1-2a

2a

）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，是中檔偏難的題．