Question

已知函數(shù)f（x）=e^xlnx（x＞0），e為自然對(duì)數(shù)的底．
（1）當(dāng)x=a時(shí)取得最小值，求a的值；
（2）令b=e^a，求函數(shù)y=log_bx在點(diǎn)P（e，e）處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=e^xlnx（x＞0），知f′（x）=e^xlnx•（lnx+1），x＞0，由f′（x）＞0，得x＞

1

e

，由f′（x）＜0得0＜x＜

1

e

．由此能求出a．
（2）由b=e

1

e

，知y=elnx，（x＞0），y′=

e

x

，由此能求出P處的切線方程．

解答：解：（1）∵f（x）=e^xlnx（x＞0），
∴f′（x）=e^xlnx•（lnx+1），x＞0，
由f′（x）＞0，得x＞

1

e

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

1

e

．
當(dāng)x=

1

e

時(shí)，f（x）有最小值，
此時(shí)a=

1

e

．
（2）∵a=

1

e

，b=e^a，
∴b=e

1

e

，y=elnx，（x＞0），y′=

e

x

，
P處的切線斜率k=f′(e)=

e

e

=1，
∴切線方程為y-e=x-e，
即x-y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義．切線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．