Question

（2012•德陽二模）已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+1，（x＞0），g（x）=ax²-x（x＞0，a＞0），F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）
（1）若F（x）在x=2處取得極值，求a；
（2）求函數F（x）的單調區(qū)間；
（3）若函數f（x）與函數g（x）的圖象在公共點P（x₀，y₀）處有相同的切線，求證：2＜x₀＜3．

Answer 1

分析：（1）由F′（x）=x²-x-2ax+1，F(xiàn)′（2）=0，得4-2-4a+1=0，由此能求出a．
（2）由F′（x）=x²-x-2ax+1=x²-（1+2a）x+1，方程x²-（1+2a）x+1=0判別式△=（1+2a）²-4=（2a+3）（2a-1），由此能求出函數F（x）的單調區(qū)間．
（3）由f（x）、g（x）在公共點P（x₀，y₀）處有相同的切線，知x03-3x0-6=0，由此能夠證明2＜x₀＜3．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+1，（x＞0），g（x）=ax²-x（x＞0，a＞0），
∴F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-ax2+x+1，
∴F′（x）=x²-x-2ax+1，
由F′（2）=0，得4-2-4a+1=0，
∴a=

3

4

．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-ax2+x+1，
∴F′（x）=x²-x-2ax+1=x²-（1+2a）x+1，
方程x²-（1+2a）x+1=0判別式△=（1+2a）²-4=（2a+3）（2a-1），
當0＜a≤

1

2

時，△≤0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）單調增，
當a＞

1

2

時，方程x²-（1+2a）x+1=0的兩根

1+2a± 4a2+4a-3

2

的兩根均為正數，
∴F（x）在（0，

1+2a- 4a2+4a-3

2

），（

1+2a+ 4a2+4a-3

2

，+∞）單調增，
在（

1+2a- 4a2+4a-3

2

，

1+2a+ 4a2+4a-3

2

）單調減．
（3）∵f（x）、g（x）在公共點P（x₀，y₀）處有相同的切線，
∴

x02-x0=2ax0-1 1 3 x03- 1 2 x02+1=ax02-x0

，
∴x03-3x0-6=0，
令φ（x）=x³-3x-6，（x＞0）
則φ′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴φ（x）在（0，1）單調減，在（1，+∞）單調增，
又∵φ（0）=-6，φ（1）=-8，φ（2）=-4＜0，φ（3）=12＞0，
∴φ（x）=0在（0，+∞）上僅有唯一解且解在（2，3）內，
∴2＜x₀＜3．

點評：本題考查函數的極值、單調區(qū)間的求法及其應用，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數知識的靈活運用．