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        1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿足條件:①對(duì)任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)②函數(shù)f(x)的圖象與y=x相切.
          (1)求f(x)的解析式;
          (2)設(shè)g(x)=2f(x)-18x+q+3,若存在常數(shù)t (t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),g(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t,請(qǐng)求出t的值.(注:[a,b]的區(qū)間長(zhǎng)度為b-a)
          分析:(1)根據(jù)對(duì)任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x),分別代入解析式,即可得到關(guān)于a和b的一個(gè)方程,又函數(shù)f(x)的圖象與y=x相切,可以得到方程ax2+bx=x有且只有一個(gè)解,從而列出關(guān)于a和b的方程,求解即可得到f(x)的解析式;
          (2)求出g(x)的解析式為g(x)=x2-16x+q+3,根據(jù)0≤t<10,f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù),在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù),且其圖象的對(duì)稱軸是x=8.故可分類討論:①當(dāng)0≤t≤6時(shí),在區(qū)間[t,10]上,f(t)最大,f(8)最。虎诋(dāng)6<t≤8時(shí),在區(qū)間[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小;③當(dāng)8<t<10時(shí),在區(qū)間[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,故可求常數(shù)t的值.
          解答:解:(1)∵二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿足條件①對(duì)任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x),
          ∴a(x-4)2+b(x-4)=a(2-x)2+b(2-x),
          ∴(2x-6)(-2a+b)=0,
          ∴b=2a  
          又函數(shù)f(x)的圖象與y=x相切,
          ∴方程ax2+bx=x有且只有一個(gè)解,且b=2a,
          ∴ax2+(2a-1)x=0的兩根相等,
          ∴△=(2a-1)2-4a×0=0,即(2a-1)2=0,
          a=
          1
          2
          ,b=1,
          ∴f(x)=
          1
          2
          x2+x;
          (2)由(1)知,f(x)=
          1
          2
          x2+x,且g(x)=2f(x)-18x+q+3,
          ∴g(x)=x2-16x+q+3,
          ∴g(x)圖象的對(duì)稱軸為x=8,
          又∵x∈[t,10],且t≥0,
          ∴g(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù),在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù),
          ①當(dāng)0≤t≤6時(shí),g(x)在區(qū)間[t,8]上單調(diào)遞減,在[8,10]上單調(diào)遞增,
          ∴當(dāng)x=t時(shí),g(x)取得最大值g(t),
          當(dāng)x=8時(shí),g(x)取得最小值g(8),
          ∵g(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t,
          ∴g(t)-g(8)=12-t,即t2-15t+52=0,
          ∴t=
          15±
          17
          2

          又t>0時(shí),
          ∴t=
          15+
          17
          2
          ;
          ②當(dāng)6<t≤8時(shí),g(x)在區(qū)間[t,8]上單調(diào)遞減,在[8,10]上單調(diào)遞增,
          ∴當(dāng)x=10時(shí),g(x)取得最大值g(10),
          當(dāng)x=8時(shí),g(x)取得最小值g(8),
          ∵g(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t,
          ∴g(10)-g(8)=12-t,即4=12-t,
          ∴t=8;
          ③當(dāng)8<t<10時(shí),g(x)在區(qū)間[t,10]上單調(diào)遞增,
          ∴當(dāng)x=10時(shí),g(x)取得最大值g(10),
          當(dāng)x=t時(shí),g(x)取得最小值g(t),
          ∵g(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t,
          ∴g(10)-g(t)=12-t,即t2-17t+72=0,
          ∴t=8或t=9,
          又∵8<t<10,
          ∴t=9.
          綜合①②③可得,存在常數(shù)t=
          15+
          17
          2
          或t=8或t=9,使得當(dāng)x∈[t,10]時(shí),g(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題.求函數(shù)解析式常見(jiàn)的方法有:待定系數(shù)法,換元法,湊配法,消元法等.本題運(yùn)用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì),要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,注意抓住二次函數(shù)的開(kāi)口方向,對(duì)稱軸,以及判別式的考慮.屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
          (I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
          (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
          (Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
          (1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
          (2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
          f(x)x-1

          (1)求a的值;
          (2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
          (3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
          (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案