Question

f（x）是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-cosx，若a=f(-

3

2

)，b=f(

15

2

)，則a與b的大小關(guān)系為a

＞

b（填寫(xiě)＞，＜或=）．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的周期性及奇偶性，對(duì)f（-

3

2

），f（

15

2

）進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，把自變量的值轉(zhuǎn)化到區(qū)間[2，4]上，再根據(jù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，即可得到函數(shù)值f（-

3

2

），f（

15

2

）的大小關(guān)系．

解答：解：∵x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-cosx，
∴f^′（x）=2+sinx＞0在x∈[0，2]上恒成立，
∴f（x）=2x-cosx在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，
∴f（x）=2x-cosx在x∈[-2，0]上單調(diào)遞減，
∵f（x+4）=f（x），∴f（x）在x∈[2，4]上單調(diào)遞減，
∵f（-

3

2

）=f（-

3

2

+4）=f（

5

2

），f（

15

2

）=f（

15

2

-4）=f（

7

2

），且2＜

5

2

＜

7

2

＜4，
∴f（

5

2

）＞f（

7

2

），即f（-

3

2

）＞f（

15

2

）．
故答案為：＞．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的周期性及奇偶性對(duì)f（-

3

2

），f（

15

2

）進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的單調(diào)性進(jìn)行比較．