Question

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．首屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬．如圖所示，在陽馬中，底面．

（1）若，斜梁與底面所成角為，求立柱的長(zhǎng)（精確到）；

（2）證明：四面體為鱉臑；

（3）若，，，為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出側(cè)棱在平面上的射影是，從而是側(cè)棱與平面所成角，，從而求得立柱的長(zhǎng).

（2）四邊形是長(zhǎng)方形，從而是直角三角形，由此得出，從而三角形是直角三角形，由平面，得是直角三角形，由此能證明四面體為鱉臑.

（3）利用轉(zhuǎn)化法求出異面直線與的距離，即可求得三角形面積的最小值.

（1）因?yàn)閭?cè)棱平面，所以側(cè)棱在底面上的射影是，所以是側(cè)棱與平面所成角，所以，在中，，所以，即，，所以.

（2）證明：由題意知四邊形是長(zhǎng)方形，所以三角形是直角三角形.

由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.因?yàn)?/span>，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以四面體為鱉臑.

（3）與是兩異面直線，，所以平面，則兩異面直線與的距離等于到平面的距離，也即到平面的距離，等于到直線的距離.因?yàn)?/span>，所以，則到的距離為.

所以線段上的動(dòng)點(diǎn)到的最小距離為.則三角形面積的最小值為.