Question

【題目】已知二次函數(shù) 在時(shí)取得最小值，且函數(shù)的圖象在軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為．

（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由已知中二次函數(shù)在x=2時(shí)取得最小值，所以，且函數(shù)f（x）的圖象在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，即，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出a，b值，可得函數(shù)f（x）的解析式；

（2）由（1）知， 的對(duì)稱(chēng)軸是x=2，分析給定區(qū)間與對(duì)稱(chēng)的位置關(guān)系，結(jié)合當(dāng)x∈[t，t+1]時(shí)，討論求出最小值即可求參數(shù)的值.

試題解析：

解：因?yàn)槎�次函�?shù)在時(shí)取得最小值，

所以，即，所以，

設(shè)函數(shù)的圖象在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，

所以. 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為．

則.所以.

所以

(2) 由(1)知， 的對(duì)稱(chēng)軸是，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，

所以，即

所以.

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)， .（舍去）

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，

，即，所以.

綜合上所述， 或.