Question

已知函數(shù)f(x)=

a•2x-b

2x+b

是定義在R上的奇函數(shù)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(

1

3

，1)，若x∈（-1，1）時(shí)，不等式f-1(x)≥log2

1+x

m

恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．

Answer 1

∵f（x）是奇函數(shù)，∴f(0)=0?

a•1-b

1+b

=0，
∴a=b①…（2分）
又其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(

1

3

，1)，得原函數(shù)過點(diǎn)（1，

1

3

），
∴f(1)=

1

3

?

a•2-b

2+b

=

1

3

②．
由①②得a=b=1．
記y=f(x)=

2x-1

2x+1

．整理得2x=

1+y

1-y

＞0，
∴

1+y

1-y

＞0?-1＜y＜1
上式兩邊取2為底的對數(shù)，x=log2

1+y

1-y

，交換x、y，y=log2

1+x

1-x

故所求反函數(shù)f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)…（8分）
從而log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

對x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴

1+x

1-x

≥

1+x

m

…（11分）
即m≥1-x對x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范圍是m≥2…（13分）
故答案為：m≥2．