Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-1），且其右焦點(diǎn)到直線的距離為3．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)，與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，且滿(mǎn)足|BM|=|BN|．求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為，易知b=1，設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0），由條件得，可求得c值，根據(jù)a²=b²+c²，可得a值；
（2）易判斷直線l斜率不存在時(shí)不合題意，可設(shè)直線l：，與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，則△＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)P（x，y），由|BN|=|BM|，則有BP⊥MN，所以=-，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得關(guān)于k的方程，解出k后驗(yàn)證是否滿(mǎn)足△＞0，從而可得直線l的方程；
解答：解 （1）設(shè)橢圓方程為，則b=1．
設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0），則由條件得，得．
則a²=b²+c²=3，
∴橢圓方程為．
（2）若直線l斜率不存在時(shí)，直線l即為y軸，此時(shí)M，N為橢圓的上下頂點(diǎn)，|BN|=0，|BM|=2，不滿(mǎn)足條件；
故可設(shè)直線l：，與橢圓聯(lián)立，消去y得：．
由，得．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)P（x，y），
由韋達(dá)定理得，而．
則
由|BN|=|BM|，則有BP⊥MN，，
可求得，檢驗(yàn)，所以k=，
所以直線l的方程為或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論思想，判別式、韋達(dá)定理是解決該類(lèi)題目常用知識(shí)，要熟練掌握，屬中檔題．