Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論在上的單調(diào)性；

(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值為，若存在，求滿足條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在上遞增；當(dāng)或時(shí)， 在上遞減；當(dāng)且時(shí)， 在上遞增；在上遞減. （2）的個(gè)數(shù)為1.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)定義域研究導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律：當(dāng)時(shí)，恒為正；當(dāng)時(shí)，恒為負(fù)；當(dāng)且時(shí)，有零點(diǎn)，先增后減（2）由單調(diào)性知當(dāng)且時(shí)，有最值，且為，再化簡方程得，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并確定解得情況

試題解析：（1）

當(dāng)時(shí)， 在上遞增.

當(dāng)時(shí)即或時(shí)， ， 在上遞減.

當(dāng)且時(shí)，令得.

令得；令得.

在上遞增，在上遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上遞增；當(dāng)或時(shí)， 在上遞減；

當(dāng)且時(shí)， 在上遞增；在上遞減.

（2）易知， 在上遞減，在上遞減， .

，即，

設(shè)，易知為增函數(shù)，且， ，

的唯一零點(diǎn)在上， 存在，且的個(gè)數(shù)為1.