Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，S是該三角形的面積，且4sin（3π-A）sin2(

A

2

+

π

4

)-cos(π-2A)=

3

+1．
（1）求角A的大小；
（2）若角A為銳角，b=1，S=

3

，求邊BC上中線AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，降冪公式，二倍角公式將題中式子化簡為sinA=

3

2

再根據(jù)A為三角形內(nèi)角即可求出A．
（2）根據(jù)角A為銳角和（1）可得A=

π

3

然后根據(jù)三角形的面積公式再結(jié)合條件b=1，S=

3

可求出C的值，而求邊BC上中線AD的長有三種方法：
法一：由于AD為BC邊上的中線則根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)然后兩邊平方即可求出|

AD

|也即為AD的長．
法二：先根據(jù)cosA利用余弦定理求出a的值再在△ADC和△ABC中兩次利用余弦定理即可求出AD的值．
法三：作CE平行于AB，并延長AD交CE于E然后再利用余弦定理求解．

解答：解：（1）∵4sin（3π-A）sin2(

A

2

+

π

4

)-cos(π-2A)=

3

+1
∴4sinAsin²（

A

2

+

π

4

）+cos2A=

3

+1
∴4sinA

1-cos(A+ π 2 )

2

+1-2sin²A=

3

+1
∴sinA=

3

2

∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

或

2π

3

（2）因A為銳角，則A=

π

3

即cosA=

1

2

而面積S=

1

2

bcsinA，又S=

3

，b=1，sinA=

3

2

，則c=4 
解法一：∵AD為BC邊上的中線
∴

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)
∴|

AD

|2=

1

4

（|

AB

|2+2|

AB

||

AC

|cosA+|

AC

|2）
∴|

AD

|=|AD|=

21

2

解法二：又由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA得a=

13

又cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

b2+( a 2 )2-AD2

2b× a 2

∴

13+1-16

2 13

=

1+ 13 4 -AD2

13

∴AD=

21

2

 解法三：作CE平行于AB，并延長AD交CE于E
在△ACE中，∠C=

2π

3

，AC=1，CE=4，且AD=

1

2

AE
又AE²=AC²+CE²-2AC•CE•cosC
即AE2=1+16+8×

1

2

=21
這樣 AD=

1

2

AE=

21

2

點(diǎn)評：本題主要考查了利用余弦定理解三角形，屬�？碱}，較易．解題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式，降冪公式，二倍角公式求出角A的值，再利用A的值結(jié)合余弦定理解三角形！