已知函數(shù)

.
(I)求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若

,試解答下列兩小題.
(i)若不等式

對任意的

恒成立,求實數(shù)

的取值范圍;
(ii)若

是兩個不相等的正數(shù),且以

,求證:

.
(I)①當(dāng)

時,

遞增區(qū)間是

;②當(dāng)

時,

遞增區(qū)間是

,遞減區(qū)間為

;(Ⅱ)(i)實數(shù)

的取值范圍為

;(ii)詳見試題解析.
試題分析:(I)首先求函數(shù)

的定義域,再求

的導(dǎo)數(shù),令

下面分

和

討論求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)(i)先由已知條件,將問題轉(zhuǎn)化為

設(shè)

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù):

,由此討論可得

在

上為減函數(shù),從而求得實數(shù)

的取值范圍;(ii)先根據(jù)已知條件把

化簡為

,只要證

設(shè)

,構(gòu)造函數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)可得

在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,最終證得

.
試題解析:(I)解:函數(shù)

的定義域為

令

①當(dāng)

時,

在

上恒成立,∴

遞增區(qū)間是

;
②當(dāng)

時,由

可得

,∴

遞增區(qū)間是

,遞減區(qū)間為

. (6分)
(Ⅱ)(i)解:設(shè)

則

.
∵

在

上恒成立,∴

在

上為減函數(shù),∴

實數(shù)

的取值范圍為

. (10分)
(ii)證明:


.設(shè)

,則

.
令

,得

,

在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增

. (15分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

,
(Ⅰ)求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)的最小值為

,求

的值.(參考數(shù)據(jù)

)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
某出版社新出版一本高考復(fù)習(xí)用書,該書的成本為5元/本,經(jīng)銷過程中每本書需付給代理商m元(1≤m≤3)的勞務(wù)費,經(jīng)出版社研究決定,新書投放市場后定價為

元/本(9≤

≤11),預(yù)計一年的銷售量為

萬本.
(1)求該出版社一年的利潤

(萬元)與每本書的定價

的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每本書的定價為多少元時,該出版社一年的利潤

最大,并求出

的最大值

.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

(1)當(dāng)

時,求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.

,試問函數(shù)

在

上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知

,其中

為常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)函數(shù)

的圖象在點

處的切線的斜率為1時,求函數(shù)

在

上的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)

在

上既有極大值又有極小值,求實數(shù)

的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,過點

作函數(shù)

圖象的切線,試問這樣的切線有幾條?并求這些切線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)

滿足

,且

的導(dǎo)數(shù)

在R上恒有

,則不等式

的解集是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)

滿足

,且當(dāng)

時,

,則( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)直線

與函數(shù)

的圖象分別交于點

,則當(dāng)

達到最小時

的值為( )
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