Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的x、y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），則a₂₀₁₂的值為（　　）

A．4024

B．4023

C．4022

D．4021

Answer 1

分析：利用對任意的x、y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立，令x=y=0，則f（0）f（0）=f（0+0），解得f（0）=0或f（0）=1．可用反證法證明f（0）=0不成立．因此得到f（0）=1．再利用已知可證明f（x）在R單調(diào)遞減．利用f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），可得f（a_n+1-2-a_n）=f（0），即可得到a_n+1-a_n-2=0，于是數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，進(jìn)而解決．

解答：解：∵對任意的x、y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立，令x=y=0，則f（0）f（0）=f（0+0），
解得f（0）=0或f（0）=1．
①下面說明f（0）=0不成立．若f（0）=0，設(shè)x＜0，則f（x）＞1，-x＞0．
又f（-x）f（x）=f（-x+x）=f（0）=0，則f（-x）=0．于是f（x）=

大于1，x＜0 0，x≥0

，（*）
∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），∴1=f（a_n+1-2-a_n）與（*）矛盾，因此f（0）=0不成立．
∴f（0）=1．
②由f（0）=1，證明函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
首先證明對于任意實數(shù)x，恒有f（x）＞0．
設(shè)x＜0，則f（x）＞1，-x＞0．∵f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
∴f(-x)=

1

f(x)

＞0．即對于任意實數(shù)x，恒有f（x）＞0．
再證明其單調(diào)性：?x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，∴f（x₁-x₂）＞1．
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x₁）＞f（x₂）．∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），∴f（a_n+1-2-a_n）=f（0），
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項a₁=f（0）=1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∴a₂₀₁₂=2×2012-1=2023．
故選B．

點評：本題考查了以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)的單調(diào)性、反證法、等差數(shù)列的定義及其通項公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．