Question

如圖，邊長為2的正方形A₁ACC₁繞直線CC₁旋轉(zhuǎn)90°得到正方形B₁BCC₁，D為CC₁的中點，E為A₁B的中點，G為△ADB的重心．
（1）求直線EG與直線BD所成的角；
（2）求直線A₁B與平面ADB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線EG與直線BD的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．
（2）分別求出直線A₁B的方向向量與平面ADB的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線A₁B與平面ADB所成的角的正弦值．

解答：解：由題設(shè)CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，AC⊥BC
所以，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），
所以D（0，0，1），E（1，1，1），G(

2

3

，

2

3

，

1

3

)．（2分）
（1）

EG

=(-

1

3

，-

1

3

，-

2

3

)，

BD

=(0，-2，1)（4分）
所以

EG

•

BD

=

2

3

-

2

3

=0，
∴

EG

⊥

BD

所以，直線EG與直線BD所成的角為

π

2

．（5分）
（2）

A1B

=(-2，2，-2)（6分）

AB

=(-2，2，0)，

AD

=(-2，0，1)
設(shè)

n

=(x0，y0，z0)為平面ABD的一個法向量
則

n • AB =-2x0+2y0=0 n • AD =-2x0+y0=0

，
∴

y0=x0 z0=2x0

取

n

=(1，1，2)．（8分）
設(shè)A₁B與平面ADB所成的角為θ
則sinθ=|cos?

A1B，

n

＞|=

4

2 3 • 6

=

2

3

．
即：A₁B與平面ADB所成的角為正弦值為

2

3

．（10分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，把空間異面直線的夾角問題及直線與平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．