Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直，且此焦點(diǎn)和x軸上的較近端點(diǎn)的距離為4（

2

-1），求橢圓方程．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據(jù)題意利用橢圓的對稱性得到b=

a2-c2

=c且a-c=4（

2

-1），兩式聯(lián)解得到a、c之值，進(jìn)而算出a²=32、b²=16，可得橢圓的方程．

解答：解：∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
設(shè)短軸的兩個端點(diǎn)分別為A、B，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，連結(jié)AF₂、BF₂．
∵一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直，
∴AF₂⊥BF₂，
根據(jù)橢圓的對稱性得到△ABF₂是等腰直角三角形，可得|OA|=|0F₂|．
∴b=c，即

a2-c2

=c…①，
又∵焦點(diǎn)和x軸上的較近端點(diǎn)的距離為4（

2

-1），
∴a-c=4（

2

-1）…②，
聯(lián)解①②可得a=4

2

，c=4，可得a²=32，b²=c²=16
所求橢圓的方程為

x2

32

+

y2

16

=1．

點(diǎn)評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．