Question

在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點．
（1）求證：CM⊥EM；
（2）求直線DE與平面CEM所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明CM⊥平面EAB，即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)MD，證明∠DEM是直線DE和平面CEM所成的角，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：因為AC=BC，M是AB的中點，
所以CM⊥AB．   …（2分）
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EA     …（4分）
因為AB∩EA=A
所以CM⊥平面EAB．
所以CM⊥EM．   …（7分）
（2）解：連結(jié)MD，
設(shè)EA=a，BD=BC=AC=2a，
在直角梯形ABDE中，AB=2

2

a，M是AB的中點，
所以DE=3a，EM=

3

a，DM=

6

a，得△DEM是直角三角形，其中DM⊥EM，…（10分）
又因為DM⊥CM，EM∩CM=M，
所以DM⊥平面CEM
所以∠DEM是直線DE和平面CEM所成的角．…（12分）
在Rt△DEM中，tan∠DEM=

DM

EM

=

6 a

3 a

=

2

，
故直線DE與平面CEM所成角的正切值為

2

．…（14分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．