Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax.

(1)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)（1,f(1)）處的切線為l，若l與圓(x+1)²+y²=1相切，求a的值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求函數(shù)f(x)在［0,1］ 的最小值.

Answer 1

解:(1)依題意，有x＜2,f′(x)=a+,

過（1，f(1)）點(diǎn)的直線的斜率為a-1,所以過（1，f(1)）點(diǎn)的直線方程為y-a=(a-1)(x-1).

又已知圓圓心為（-1，0），半徑為1，

依題意，有=1.解之，

得a=1.

(2)f′(x)==a［x-(2-)］,

當(dāng)a＞0時(shí)，2-＜2,

令f′(x)＞0，

解得x＜2-;令f′(x)＜0,解得2-＜x＜2.

所以(-∞,2-)是f(x)的增區(qū)間；（2-,2）是f(x)的減區(qū)間.

(3)當(dāng)2-≤0，即0＜a≤時(shí)，f(x)在［0,1］上是減函數(shù)，

所以f(x)的最小值為f(1)=a.

當(dāng)0＜2-a＜1，即＜a＜1時(shí)，f(x)在(0,2-)上是增函數(shù)，在（2-,1）上是減函數(shù)，

所以需比較f(0)=ln2和f(1)=a兩個(gè)值的大小.

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所以，當(dāng)＜a＜ln2時(shí)，最小值為a;當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，最小值為ln2.

當(dāng)2-≥1，即a≥1時(shí)，f(x)在［0,1］上是增函數(shù)，所以最小值為f(0)=ln2.

綜上，當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，f(x)的最小值為a，當(dāng)a≥ln2時(shí)，f(x)的最小值為ln2.