Question

在二項(xiàng)式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列
（1）求展開式的常數(shù)項(xiàng)； 
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

分析：由前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列建立方程求出n，
（1）由二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的公式，令x的指數(shù)為0即可求出常數(shù)項(xiàng)；
（2）根據(jù)n=8得到展開式有9項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為正中間那一項(xiàng)，即求出第五項(xiàng)即可；
（3）可令二項(xiàng)式中的變量為1，計(jì)算可得二項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)和；

解答：解：因?yàn)榈谝弧⒍�、三�?xiàng)系數(shù)的絕對值分別為C_n⁰，

1

2

C_n¹，

1

4

C_n²；
∴C_n⁰+

1

4

C_n²=2×

1

2

C_n¹
∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）通項(xiàng)公式為  T_r+1=C₈^r（-

1

2

）^rx 

8-2r

3

，
令 

8-2r

3

=0，得r=4
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為  T₅=C₈⁴（-

1

2

）⁴=358
（2）∵n=8
∴二項(xiàng)式系數(shù)最大的為 T₅=C₈⁴（-

1

2

）⁴=358；
（3）令二項(xiàng)式中的x=1，則有展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為 （1-

1

2

）⁸=（

1

2

）⁸．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)項(xiàng)的展開式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)本題屬于公式運(yùn)用型，考查了推理判斷的能力及計(jì)算能力．