Question

（本小題14分）在數(shù)列中，，，．

（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）證明不等式，對(duì)任意皆成立．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見(jiàn)解析；（Ⅱ）．（Ⅲ）證明：見(jiàn)解析。

【解析】(I) 由題設(shè)，得，．再求出即可數(shù)列是等比數(shù)列.

(II)由（I）可求出，然后再分組求和即可.

（III）用作差比較法

從而得到證明.

（Ⅰ）證明：由題設(shè)，得

，．

又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為

．

所以數(shù)列的前項(xiàng)和．

（Ⅲ）證明：對(duì)任意的，

．

所以不等式，對(duì)任意皆成立．