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        1. 已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1.
          (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
          (2)若A、B為軌跡C上的兩點(diǎn),已知FA⊥FB,且△FAB的面積S△FAB=4,求直線AB的方程.
          分析:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1.代入兩點(diǎn)之間距離公式,及點(diǎn)到直線的距離公式,化簡即可得到點(diǎn)P的軌跡C的方程;
          (2)設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,結(jié)合FA⊥FB,且△FAB的面積S△FAB=4,我們可以構(gòu)造出關(guān)于m的方程,解方程求出m值,即可求出滿足條件的直線AB的方程.
          解答:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),根據(jù)題意得
          (x-1)2+y2
          =|x+2|-1

          當(dāng)x≥-2時(shí),則
          (x-1)2+y2
          =x+1

          兩邊平方化簡得y2=4x
          當(dāng)x<-2時(shí),則
          (x-1)2+y2
          =-x-3≥0得x≤-3

          又由
          (x-1)2+y2
          =-x-3≥0化簡得y2=8x+8

          得x≥-1與x<-2矛盾
          故點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x.
          (2)設(shè)直線AB的方程為x=ty+m
          x=ty+m
          y2=4x
          得y2-4ty-4m=0
          由△=16t2+16m>0得t2+m>0
          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
          則y1+y2=4t,y1y2=-4m|y1-y2|=
          (y1+y22-4y1y2 
          =
          16t2+16m
          =4
          t2+m

          FA
          =(x1-1,y1),
          FB
          =(x2-1,y2
          FA
          FB
          =0,得x1•x2-(x1+x2)+1+y1•y2=0
          又由x1=t•y1+m,x2=t•y2+m,得4t2=m2-6m+1
          S△ABF=
          1
          2
          |m-1|×4
          t2+m
          =|m-1|
          4t2+4m
          =|m-1|
          m2-2m+1
          =(m-1)2,
          由(m-1)2=4,解得m=-1,或m=3
          將m=-1代入4t2=m2-6m+1得t2=2,
          將m=3代入4t2=m2-6m+1得4t2=9-18+1=-8<O不成立,
          ∴m=3不合是題意舍去
          ∴所求直線AB的方程為x±
          2
          y+1=0
          點(diǎn)評:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的一般式方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的綜合問題,(1)中關(guān)鍵是根據(jù)已知,構(gòu)造關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的方程,(2)的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點(diǎn)F(-1,0)的距離為d2,且
          d2
          d1
          =
          2
          2

          (1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程;
          (2)直線l過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B(點(diǎn)A或B不在x軸上),分別過A、B點(diǎn)作直線l1:x=-2的垂線,對應(yīng)的垂足分別為M、N,試判斷點(diǎn)F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系(指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況);
          (3)記S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的點(diǎn)),問是否存在實(shí)數(shù)λ,使S22=λS1S3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
          進(jìn)一步思考問題:若上述問題中直線l1:x=-
          a2
          c
          、點(diǎn)F(-c,0)、曲線C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0,c=
          a2-b2
          )
          ,則使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不變.請給出你的判斷
           
           (填寫“不正確”或“正確”)(限于時(shí)間,這里不需要舉反例,或證明).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P到直線x=-
          p
          2
          -1
          (p是正常數(shù))的距離為d1,到點(diǎn)F(
          p
          2
          ,0)
          的距離為d2,且d1-d2=1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程;
          (2)直線l 過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B,分別過A、B點(diǎn)作直線l1:x=-
          p
          2
          的垂線,對應(yīng)的垂足分別為M、N,求證=
          FM
          FN
          =0

          (3)記S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FEN(A、B、M、N是(2)中的點(diǎn)),λ=
          S
          2
          2
          S1S3
          ,求λ 的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河北省張北一中2012屆高三新課標(biāo)高考模擬數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

          已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和定直線x=2的距離之比為常數(shù)

          (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程

          (2)設(shè)直線l:y=kx+m與軌跡C交于M,N兩點(diǎn),直線FM與FN的傾斜角分別為α,β,且α+β=π.證明:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖北省武漢市部分學(xué)校高三(上)起點(diǎn)調(diào)考數(shù)學(xué)試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

          已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1.
          (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
          (2)若A、B為軌跡C上的兩點(diǎn),已知FA⊥FB,且△FAB的面積S△FAB=4,求直線AB的方程.

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          同步練習(xí)冊答案