Question

有以下真命題：設(shè)，，…，是公差為d的等差數(shù)列{a_n}中的任意m個(gè)項(xiàng)，若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，則有②，特別地，當(dāng)r=0時(shí)，稱a_p為，，…，的等差平均項(xiàng)．
（1）當(dāng)m=2，r=0時(shí)，試寫出與上述命題中的（1），（2）兩式相對應(yīng)的等式；
（2）已知等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n，試根據(jù)上述命題求a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均項(xiàng)；
（3）試將上述真命題推廣到各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列中，寫出相應(yīng)的真命題．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)m=2，r=0時(shí)，，可化為，可化為；
（2）由等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n，可得a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的值，代入公式可得a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均項(xiàng)；
（3）根據(jù)等比數(shù)列運(yùn)算級(jí)比等差數(shù)列高的一般性質(zhì)規(guī)律，可以類比推斷出設(shè)，，…，是公比為q的等比數(shù)列{a_n}中的任意m個(gè)項(xiàng)，若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0①，則有 ②，特別地，當(dāng)r=0時(shí)，稱a_p為，，…，的等比平均項(xiàng)．
解答：解：（1）∵若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，
則有②，
又∵當(dāng)m=2，r=0時(shí)，
，可化為，
可化為；
故原命題可化為：若，則．
（2）∵a_n=2n，
∴a₁=2，a₃=6，a₁₀=20，a₁₈=36．
∵，
∴．
（3）由設(shè)，，…，是公差為d的等差數(shù)列{a_n}中的任意m個(gè)項(xiàng)，
若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，
則有②，
特別地，當(dāng)r=0時(shí)，稱a_p為，，…，的等差平均項(xiàng)．
根據(jù)等比數(shù)列運(yùn)算級(jí)比等差數(shù)列高的一般性質(zhì)規(guī)律，可以類比推斷出以下真命題：
設(shè)，，…，是公比為q的等比數(shù)列{a_n}中的任意m個(gè)項(xiàng)，
若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0①，
則有 ②，
特別地，當(dāng)r=0時(shí)，稱a_p為，，…，的等比平均項(xiàng)．
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，等差數(shù)列的性質(zhì)，其中正確理解新定義等差平均項(xiàng)的含義，及等差數(shù)列到等比數(shù)列的類比法則是解答本題的關(guān)鍵．