Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：，，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），數(shù)列{b_n}滿足：b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）若當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，S_n取得最小值，求b₁的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）證明：∵{a_n}為等差數(shù)列，
∴公差，
∴．
∵3b_n-b_n-1=n（n≥2）．
∴，
∴
又b₁-a₁≠0，
∴對．
數(shù)列{b_n-a_n}是公比為的等比數(shù)列．
（Ⅲ）由（II）得b_n-a_n=（b₁-a₁）（ ）^n-1，
∴b_n=，
∵b₁＜0，可知數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列…10分
由當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，S_n取得最小值可得S₃＞S₄，S₄＜S₅ ，
∴b₄＜0，b₅＞0，
又當(dāng)b₄＜0，b₅＞0時，
∵數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，
∴S_n取得最小值時，n=4，
即當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，S_n取得最小值的充要條件是b₄＜0，b₅＞0…12分
由b₄＜0得，•（）³＜0，解得b₁＜-47，
由b₅＞0得，•（）⁴＞0，解得b₁＞-182，
∴b₁的取值范圍為（-182，-47）．…14分
分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由{a_n}為等差數(shù)列，公差，知．由3b_n-b_n-1=n（n≥2）．知，由此能夠證明數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列．
（Ⅲ）由b_n-a_n=（b₁-a₁）（ ）^n-1，知b_n=，由b₁＜0，可知數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列．由當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，S_n取得最小值可得S₃＞S₄，S₄＜S₅ ，所以b₄＜0，b₅＞0．由此能求出b₁的取值范圍．
點(diǎn)評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．