Question

已知函數(shù)(x∈R)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，證明當(dāng)x＞1時(shí)，．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)．故函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝　 (2)見解析

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的 符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系得到單調(diào)區(qū)間。

（2）構(gòu)造函數(shù)由題意可知g(x)＝f(2－x)，

得g(x)＝(2－x)e^x－2.

令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe^－x＋(x－2)e^x－2.

于是F′(x)＝(x－1)(e^2x－2－1)e^－x.

當(dāng)x＞1時(shí)，2x－2＞0，從而e^2x－2－1＞0.

又e^－x＞0，

結(jié)合單調(diào)性得到結(jié)論。

解：(1)f′(x)＝(1－x)e^－x.令f′(x)＝0，

解得x＝1.

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

所以f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)．

故函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝.

(2)證明：由題意可知g(x)＝f(2－x)，

得g(x)＝(2－x)e^x－2.

令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe^－x＋(x－2)e^x－2.

于是F′(x)＝(x－1)(e^2x－2－1)e^－x.

當(dāng)x＞1時(shí)，2x－2＞0，從而e^2x－2－1＞0.

又e^－x＞0，

所以F′(x)＞0，從而函數(shù)F(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．

又F(1)＝e^－1－e^－1＝0，

所以x＞1時(shí)，有F(x)＞F(1)＝0，

因此，當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞g(x)．