Question

某家電生產(chǎn)企業(yè)市場營銷部對本廠生產(chǎn)的某種電器進(jìn)行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間T（單位：年）有關(guān)．若T≤2，則銷售利潤為0元；若2＜T≤3，則銷售利潤為100元；若T＞3，則銷售利潤為200元，設(shè)每臺該種電器的無故障使用時間T≤2，2＜T≤3，T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別是P₁，
P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，且P₂=P₃．
（Ⅰ）求P₁，P₂，P₃的值；
（Ⅱ）記X表示銷售兩臺該種電器的銷售利潤總和，求X的分布列及期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)題目中所給的三種情況發(fā)生的概率P₁，P₂，P₃之間的關(guān)系，寫出關(guān)于三個概率的關(guān)系式，即三個概率之和是1，又兩個概率是一元二次方程的解，根據(jù)根和系數(shù)之間的關(guān)系，寫出結(jié)果．
（2）X的可能取值為0，100，200，300，400，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的分布列，做出數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由已知P₁+P₂+P₃=1，
∵P₂=P₃，∴P₁+2P₂=1
∵P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，
∴P₁+P₂=

3

5

，
∴P₁=

1

5

，P₂=P₃=

2

5

；
（2）X的可能取值為0，100，200，300，400，
P（X=0）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
P（X=100）=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

，
P（X=200）=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P（X=300）=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P（X=400）=

2

5

×

2

5

=

4

25

．
∴隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	100	200	300	400
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

銷售利潤總和的期望為EX=0×

1

25

+100×

4

25

+200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240元．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查概率的性質(zhì)，考查一元二次方程根和系數(shù)之間的關(guān)系，是一個綜合題目．