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        1. 已知定義域為(0,+∞)函數(shù)f(x)的解析式滿足(x-1)f(x-1)=x2-2x+2.函數(shù)g(x)=
          f(x),x>0
          f(-x),x<0
          ,則函數(shù)g(x)在區(qū)間[-2,-
          1
          2
          ]上的值域是
          [2,
          5
          2
          ]
          [2,
          5
          2
          ]
          分析:由已知中函數(shù)f(x)滿足(x-1)f(x-1)=x2-2x+2,可求出函數(shù)f(x)的解析式,進而得到函數(shù)g(x)的解析式,結(jié)合x∈[-2,-
          1
          2
          ],可得函數(shù)的最值,從而可求得函數(shù)的值域.
          解答:解:由(x-1)f(x-1)=x2-2x+2,得f(x-1)=
          x2-2x+2
          x-1
          =(x-1)+
          1
          x-1
          ,
          ∴f(x)=x+
          1
          x
          (x>0),
          則g(x)=
          f(x),x>0
          f(-x),x<0
          =
          x+
          1
          x
          ,x>0
          -x-
          1
          x
          ,x<0
          ,
          當(dāng)x∈[-2,-
          1
          2
          ]時,g(x)=-x-
          1
          x
          ,g′(x)=-1+
          1
          x2
          =
          (1+x)(1-x)
          x2
          ,
          當(dāng)x∈[-2,-1)時,g′(x)<0,g(x)遞增;當(dāng)x∈(-1,-
          1
          2
          ]時,g′(x)>0,g(x)遞增,
          ∴x=-1時g(x)取得最小值為g(-1)=2,
          又g(-2)=g(-
          1
          2
          )=
          5
          2
          ,∴g(x)的最大值為
          5
          2
          ,
          故函數(shù)g(x)在區(qū)間[-2,-
          1
          2
          ]上的值域為:[2,
          5
          2
          ].
          故答案為:[2,
          5
          2
          ].
          點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用,屬中檔題,解決本題的關(guān)鍵是利用根據(jù)已知條件先求得f(x).
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:
          (1)對任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;
          (2)當(dāng)x∈(1,2]時f(x)=2-x給出結(jié)論如下:
          ①任意m∈Z,有f(2m)=0;
          ②函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞);
          ③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
          ④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k-1).
          其中所有正確結(jié)論的序號是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為(0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:f(m)+f(n)=f(m•n)對任意m,n∈(0,+∞)均成立.
          (Ⅰ)求f(1)的值;若f(a)=1,求f(
          1a
          )
          的值;
          (Ⅱ)若關(guān)于x的方程2f(x+1)=f(kx)有且僅有一個根,求實數(shù)k的取值集合.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:(1)對任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)當(dāng)x∈(1,2]時,f(x)=2-x.給出如下結(jié)論:
          ①對任意m∈Z,有f(2m)=0;
          ②存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
          ③函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞);
          ④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k+1)”.
          其中所有正確結(jié)論的序號是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域為(0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x),若對任意x∈(0,+∞),都有f(f(x)+log
          1
          2
          x)=3
          ,則方程f(x)=2+
          x
          的解的個數(shù)是
          0
          0

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          同步練習(xí)冊答案