Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1-2a_n=-2n+2（n∈N^*），設b_n=a_n+λn+k（λ，k為常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求λ，k的值及數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）若（a_n-2n）•c_n=

n+2

n•(n+1)

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1-2a_n=-2n+2（n∈N^*），變形為a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），可得數(shù)列{a_n-2n}是等比數(shù)列，即可得到a_n．
進而得到b_n．取b₁，b₂，b₃，b₄． 由于數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，利用

b

2 2

=b1b3，

b

2 3

=b2b4，即可得到λ，k．
（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（3））由（a_n-2n）•c_n=

n+2

n•(n+1)

，可得c_n=

1

2n-1n

-

1

2n(n+1)

，利用“裂項求和”即可證明．

解答：解：（1）∵a_n+1-2a_n=-2n+2（n∈N^*），∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），
又a₁-2=4-2=2．
∴數(shù)列{a_n-2n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴an-2n=2×2n-1=2n，
∴an=2n+2n．
∴b_n=a_n+λn+k=2ⁿ+2n+λn+k．（λ，k為常數(shù)）．
∴b₁=4+λ+k，b₂=8+2λ+k，b₃=14+3λ+k，b₄=24+4λ+k．
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，∴

b

2 2

=b1b3，

b

2 3

=b2b4．
∴（8+2λ+k）²=（4+λ+k）（14+3λ+k），（14+3λ+k）²=（8+2λ+k）（24+4λ+k），
化為λ²+6λ+8-2k=0，λ²+4λ+4-4k=0，
解得λ=-2，k=0．
∴an=2n+2n．
（2）由（1）可知：S_n=

2(2n-1)

2-1

+2×

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．
（3）∵（a_n-2n）•c_n=

n+2

n•(n+1)

，∴2n•cn=

n+2

n(n+1)

，
∴c_n=

1

2n-1n

-

1

2n(n+1)

，
∴T_n=1-

1

2n(n+1)

＜1．

點評：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．