Question

某設(shè)計(jì)部門(mén)承接一產(chǎn)品包裝盒的設(shè)計(jì)（如圖所示），客戶(hù)除了要求AB、BE邊的長(zhǎng)分別為20cm和30cm外，還特別要求包裝盒必需滿(mǎn)足：①平面ADE⊥平面ADC；②平面ADE與平面ABC所成的二面角不小于60°；③包裝盒的體積盡可能大．若設(shè)計(jì)部門(mén)設(shè)計(jì)出的樣品滿(mǎn)足：∠ACB與∠ACD均為直角且AB長(zhǎng)20cm，矩形DCBE的一邊長(zhǎng)為30cm，請(qǐng)你判斷該包裝盒的設(shè)計(jì)是否能符合客戶(hù)的要求？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：該包裝盒的樣品設(shè)計(jì)符合客戶(hù)的要求，先證明滿(mǎn)足條件①的要求，根據(jù)已知條件可證DE⊥面ADC，從而證得面ADE⊥面ADC，再證明滿(mǎn)足條件②、③的要求，根據(jù)矩形DCBE的一邊長(zhǎng)為30cm，而直角三角形ABC的斜邊AB長(zhǎng)為20cm，則BE=30，設(shè)BC=t，則，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CD分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出面ADE的一個(gè)法向量為n₁，而面ABC的一個(gè)法向量為n₂=（0，0，1），設(shè)面ADE與面ABC所成的二面角為θ，則，求出t的范圍確保面ADE與面ABC所成的二面角不小于60°，然后表示四棱錐A-BCDE的體積，利用基本不等式求出取最值時(shí)的t，看是否滿(mǎn)足條件即可．
解答：解：該包裝盒的樣品設(shè)計(jì)符合客戶(hù)的要求．
以下證明滿(mǎn)足條件①的要求．
∵四邊形DCBE為矩形，∠ACB與∠ACD均為直角，
∴CB⊥AC且CB⊥DC∴CB⊥面ADC，
在矩形DCBE中，DE∥CB
∴DE⊥面ADC∴面ADE⊥面ADC…（3分）
以下證明滿(mǎn)足條件②、③的要求．
∵矩形DCBE的一邊長(zhǎng)為30cm，
而直角三角形ABC的斜邊AB長(zhǎng)為20cm，∴BE=30
設(shè)BC=t，則，
以C為原點(diǎn)，CA、CB、CD分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則，B（0，t，0），D（0，0，30），E（0，t，30），
設(shè)面ADE的一個(gè)法向量為n₁=（x，y，z），，
∵
∴，取x=1，則…（6分）
而面ABC的一個(gè)法向量為n₂=（0，0，1），
設(shè)面ADE與面ABC所成的二面角為θ，則，
∴，∴t≥10，
即當(dāng)t≥10時(shí)，面ADE與面ABC所成的二面角不小于60°．…（8分）
又，由∠ACB與∠ACD均為直角知，AC⊥面DCBE，該包裝盒可視為四棱錐A-BCDE，

當(dāng)且僅當(dāng)t²=400-t²，即時(shí)，V_A-BCDE的體積最大，最大值為2000cm³．…（12分）
而，可以滿(mǎn)足面ADE與面ABC所成的二面角不小于60°的要求，
綜上，該包裝盒的設(shè)計(jì)符合客戶(hù)的要求．            …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面面垂直的判定，以及用空間向量求平面間的夾角和利用基本不等式求體積的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．